无理数是什么？初学者必知的无理数定义、性质及例题解析

摘要：

在数学中，我们常常会遇到一些特殊的数字，它们不是整数，也不是分数，这种数字被称为无理数。无理数是一种不能表示为有限小数或分数的数，它们的小数部分是无限不循环的，因此无法用分数来表示。本文将以标题“无理数是什么？初学者必知的无理数定义、性质及例题解析”为中心，详细讲解无理数的定义、性质以及例题解析，帮助初学者更好地理解无理数。一、无理数的定义无理数是指不能表示为两个整数之比的实数。无理数包括无限不循环小数和无限循环小

在数学中，我们常常会遇到一些特殊的数字，它们不是整数，也不是分数，这种数字被称为无理数。无理数是一种不能表示为有限小数或分数的数，它们的小数部分是无限不循环的，因此无法用分数来表示。本文将以标题“无理数是什么？初学者必知的无理数定义、性质及例题解析”为中心，详细讲解无理数的定义、性质以及例题解析，帮助初学者更好地理解无理数。

=无理数的定义

无理数是指不能表示为两个整数之比的实数。无理数包括无限不循环小数和无限循环小数的非周期部分。例如，$\sqrt{2}$、$\pi$、$e$等数都是无理数。

=无理数的性质

= 无理数是无限不循环小数，不能表示为有限小数或分数。

= 无理数可以用无限不循环小数或无限循环小数的非周期部分表示。

= 无理数和有理数的和、差、积、商都是无理数。

= 无理数可以用有理数的无限逼近来表示。

= 无理数可以用数列的极限来表示。

= 无理数是实数的一个重要子集。

=无理数的例题解析

下面我们来看几个无理数的例题，帮助初学者更好地理解无理数。

例1：判断下列数是否为无理数：$\sqrt{3}$、$\dfrac{1}{\sqrt{2}}$、$0.25$、$\pi$

解析：$\sqrt{3}$是无理数，因为它不能表示为两个整数之比；$\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\sqrt{\dfrac{1}{2}}$，也是无理数；$0.25$可以表示为$\dfrac{1}{4}$，是有理数；$\pi$是无理数，因为它是无限不循环小数的非周期部分。

例2：证明$\sqrt{2}+\sqrt{3}$是无理数。

解析：假设$\sqrt{2}+\sqrt{3}$是有理数，则可以表示为$\dfrac{a}{b}$的形式，其中$a,b$为整数，且$a,b$互质。则有：

$$\sqrt{2}+\sqrt{3}=\dfrac{a}{b}$$

移项得：

$$\sqrt{2}=\dfrac{a}{b}-\sqrt{3}$$

两边平方得：

$$2=\dfrac{a^2}{b^2}+3-\dfrac{2a\sqrt{3}}{b}$$

移项得：

$$\sqrt{3}=\dfrac{a^2+2b^2}{2ab}$$

由于$a,b$互质，因此$a^2+2b^2$和$2ab$必定有一个是偶数，另一个是奇数。=分子和分母都是偶数或奇数是不可能的，因此假设不成立，$\sqrt{2}+\sqrt{3}$是无理数。

例3：证明$\sqrt{2}$是无限不循环小数。

解析：假设$\sqrt{2}$是有限小数或循环小数，则可以表示为$\dfrac{a}{b}$的形式，其中$a,b$为整数，且$a,b$互质。则有：

$$\sqrt{2}=\dfrac{a}{b}$$

两边平方得：

$$2=\dfrac{a^2}{b^2}$$

移项得：

$$a^2=2b^2$$

由于$a^2$是偶数，因此$a$也是偶数，可以表示为$a=2k(k\in \mathbb{Z})$的形式。代入原式得：

$$(2k)^2=2b^2$$

化简得：

$$2k^2=b^2$$

由于$b^2$是偶数，因此$b$也是偶数，但$a,b$互质，假设不成立，$\sqrt{2}$是无限不循环小数。

=无理数是一种不能表示为有限小数或分数的数，它们的小数部分是无限不循环的，因此无法用分数来表示。无理数具有很多特殊的性质，例如无理数和有理数的和、差、积、商都是无理数，无理数可以用有理数的无限逼近来表示，无理数可以用数列的极限来表示等。在解题过程中，我们可以通过假设不成立的方法来证明一个数是无理数，也可以通过数的表示方法来判断一个数是否为无理数。希望本文对初学者理解无理数有所帮助。